Пара сил. Момент пары сил

Пара сил. Момент пары.

Парой сил (или просто парой) называются две силы, равные по ве­личине, параллельные и направленные в противоположные стороны (рис.22). Очевидно, и .

Рис.22

Несмотря на то, что сумма сил равна нулю, эти силы не уравновешиваются. Под действием этих сил, пары сил, тело начнёт вращаться. И вращательный эффект будет определяться моментом пары:

.

Расстояние a между линиями действия сил называется плечом пары .

Если пара вращает тело против часовой стрелки, момент её считается положительным (как на рис.22), если по часовой стрелке – отрицательным.

Для того, чтобы момент пары указывал и плоскость, в которой происходит вращение, его представляют вектором.

Вектор момента пары направляется перпендикулярно плоскости, в которой расположена пара, в такую сторону, что если посмотреть от­туда, увидим вращение тела против часовой стрелки (рис. 23).

Нетрудно доказать, что вектор мо­мента пары – есть вектор этого векторного произведения (рис. 23). И за­метим, что он равен вектору момента силы относительно точки А , точки приложения второй силы:

О точке приложения вектора бу­дет сказано ниже. Пока приложим его к точке А .

Рис.23

Свойства пар

1) Проекция пары на любую ось равна нулю. Это следует из определения пары сил.

2) Найдём сумму моментов сил и составляющих пару, относительно какой-либо точки О (рис.24).

Рис.24

Покажем радиусы-векторы точек А 1 и А 2 и вектор , соединяющий эти точки. Тогда момент пары сил относительно точки О

Но . Поэтому .

Значит .

Момент пары сил относительно любой точки равен моменту этой пары.

Отсюда следует, что, во-первых, где бы не находилась точка О и, во-вторых, где бы не располагалась эта пара в теле и как бы она не была повёрнута в своей плоскости, действие её на тело будет одинаково. Так как момент сил, составляющих пару, в этих случаях один и тот же, рав­ный моменту этой пары .

Поэтому можно сформулировать ещё два свойства.

3) Пару можно перемещать в пределах тела по плоскости действия и переносить в любую другую параллельную плоскость.

4) Так как действие на тело сил, составляющих пару, определяется лишь её моментом, произведением одной из сил на плечо, то у пары можно изменять силы и плечо, но так, чтобы момент пары остался прежним. Например, при силах F 1 =F 2 = 5 H и плече а = 4 см момент пары m = 20 H×см. Можно силы сделать равными 2 Н, а плечо а = 10 см. При этом момент останется прежним 20 Нсм и действие пары на тело не из­менится.

Все эти свойства можно объединить и, как следствие, сделать вы­вод, что пары с одинаковым вектором момента и неважно где расположенные на теле, оказывают на него равное действие. То есть такие пары эквивалентны.

Исходя из этого, на расчётных схемах пару изображают в виде дуги со стрелкой, указывающей направление вращения, и рядом пишут величину момента m . Или, если это пространственная конструкция, по­казывают только вектор момента этой пары. И вектор момента пары можно прикладывать к любой точке тела. Значит вектор момента пары – свободный вектор.

И ещё одно дополнительное замечание. Так как момент пары ра­вен вектору момента одной из сил её относительно точки приложения второй силы, то момент пары сил относительно какой-либо оси z – есть проекция вектора момента пары на эту ось:

где – угол между вектором и осью z .

Настоящее издание поможет систематизировать полученные ранее знания, а также подготовиться к экзамену или зачету и успешно их сдать.

* * *

компанией ЛитРес .

5. Пара сил. Момент силы

Парой сил называется система двух сил, равных по модулю, параллельных и направленных в разные стороны.

Пара сил вызывает вращение тела, и ее действие на тело оценивается моментом. Силы, входящие в пару, не уравновешиваются, так как они приложены к двум точкам.

Действие этих сил на тело не может быть заменено одной равнодействующей силой.

Момент пары сил численно равен произведению модуля силы на расстояние между линиями действия сил плеча пары .

Момент считается положительным, если пара вращает тело по часовой стрелке.

M (f,f ") = Fa; M > 0.

Плоскость, проходящая через линии действия сил пары, называется плоскостью действия пары.

Свойства пар сил.

1. Пару сил можно перемещать в плоскости ее действия.

2. Эквивалентность пар. Две пары, моменты которых равны, эквивалентны (действие их на тело аналогично).

3. Сложение пар сил. Систему пар сил можно заменить равнодействующей парой.

Момент равнодействующей пары равен алгебраической сумме моментов пар, составляющих систему:

M Σ = F 1 a 1 + F 2 a 2 + F 3 a 3 + … + F n a 1 ;

Равновесие пар. Для равновесия пар необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма моментов пар системы равнялась нулю:

Момент силы относительно точки. Сила, не проходящая через точку крепления тела, вызывает вращение тела относительно точки, поэтому действие такой силы на тело оценивается моментом.

Момент силы относительно точки численно равен произведению модуля силы на расстояние от точки до линии действия силы. Перпендикуляр, опущенный из точки на линию действия силы, называется плечом силы .

Момент обозначается:

M O = (F ) или m O (F).

Момент считается положительным, если сила разворачивается по часовой стрелке.

* * *

Приведённый ознакомительный фрагмент книги Техническая механика. Шпаргалка (Аурика Луковкина, 2009) предоставлен нашим книжным партнёром -

1. Какая система сил называется парой?

2. Почему пара сил не имеет равнодействующей?

3. Чем характеризуется действие пары сил на тело?

4. Как направлен вектор момента пары сил?

5. Как определяются моменты пар сил, лежащих в одной плоскости.

6. Каковы условия эквивалентности пар сил на плоскости и в пространстве?

7. Какие преобразования пары сил не изменяют ее действие на твердое тело?

8. Почему момент пары сил является свободным вектором?

9. Чему равен момент пары сил, эквивалентной двум парам сил, расположенным в перпендикулярных плоскостях, если M 1 =10мм; М 2 =20нм?

10. Чему равен момент пары сил, эквивалентной системе пар сил, расположенных в пространстве и в одной плоскости?

11. Каковы условия равновесия системы пар сил, расположенных в пространстве и в одной плоскости?

12. Чем можно уравновесить заданную пару сил?

6 Приведение системы сил к центру. Условия равновесия

6.1 Теорема о параллельном переносе силы

Равнодействующая системы сходящихся сил непосредственно находится с помощью закона параллелограмма сил. Очевидно, что аналогичную задачу можно будет решить и для произвольной системы сил, если найти для них метод, позволяющий перенести все силы в одну точку. Такой метод дает следующая теорема: силу, приложенную к абсолютно твердому телу, можно, не изменяя оказываемого ею действия, переносить из данной точки в любую другую точку тела, прибавляя при этом пару с моментом, равным моменту переносимой силы относительно точки, куда сила переносится.

Этот метод был предложен французским ученым Пуансо (1777-1859 г.), и называется приведением силы к заданному центру. Пусть на твердое тело действует сила , приложенная в точке A (рисунок 6.1 а))

Рисунок 6.1

Действие этой силы не изменяется, если в любой точке B тела приложить две уравновешенные силы и , такие, что ; . Полученная система трех сил и представляет собой силу , равную , но приложенную в точке B, и пару , с моментом

Равенство (6.1) следует из формулы (5.7). Таким образом, теорема доказана. Результат, даваемый теоремой, можно еще изобразить так, как показано на рисунке 6.1 б), силу на этом рисунке надо считать отброшенной. Точку B, куда переносится сила, часто называют точкой приведения .

Пусть на твердое тело действует произвольная система сил, (рисунок 6.2 а). Выберем произвольную точу O за центр приведения и, пользуясь доказанной выше теоремой, перенесем все силы в центр O, присоединяя при этом соответствующие пары (рисунок 6.2 б). Тогда на тело будет действовать система сил:

приложенных в центре O, и система пар, моменты которых согласно формуле (6.1), равны:

(Силы переносятся параллельно самим себе и равными по модулю).

Рисунок 6.2

Сходящиеся в точке O силы заменяются одной силой , приложенной в точке O. При этом

Чтобы сложить все полученные пары, надо сложить векторы моментов этих пар. В результате система пар заменится одной парой, момент которой:

Величина , равная геометрической сумме всех сил, называется главным вектором системы сил; величина , равная геометрической сумме моментов всех сил относительно центра O, называется главным моментом системы сил относительно этого центра .

Таким образом, любая система сил, действующих на абсолютно твердое тело, при приведении к произвольно выбранному центру O заменяется одной силой, , равной главному вектору системы сил и приложенной в центре приведения O, и одной парой с моментом , равным главному моменту системы сил относительно центра O (рисунок 6.2 б).

Следует отметить, что сила не является равнодействующей даннойсистемы сил, так как заменяет систему сил не одна, а вместе с парой.

Из рассмотренного следует, что две системы сил, имеющие одинаковые главные векторы и главные моменты относительно одного и того же центра, эквивалентны (условие эквивалентности сил).

Отметим также, что значение от выбора центра O не зависит, а значение при изменении положения центра O, может в общем случае изменяться вследствие изменения значений моментов отдельных сил. Поэтому всегда необходимо указывать, относительно какого центра определяется главный момент.

Рассмотрим в заключение два частных случая:

1) если для данной системы сил ; , то она приводится к одной паре сил с моментом . В этом случае значение не зависит от центра O, так как иначе получилось бы, что одна и та же система сил заменяется разными, но эквивалентными друг другу парами, что невозможно.

2) если для данной системы сил , а , то она приводится к одной силе, т.е. равнодействующей, равной и приложенной в центре O.

6.2 Условия равновесия системы сил. Теорема о моменте равнодействующей

(теорема Вариньона)

Покажем, что для равновесия любой системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор этой системы сил и ее главный момент относительно любого центра были равны нулю , т.е. чтобы выполнялись условия:

где O – любой центр.

Условия (6.6) являются необходимыми, так как если какое-нибудь из них не выполняется, то система действующих на тело сил приводится или к равнодействующей (когда ), или к паре сил (когда ) и, следовательно, не является уравновешенной. Одновременно условия (6.6) являются и достаточными, потому что при система сил может приводиться только к паре с моментом , а так как , то имеет место равновесие.

Пользуясь полученным результатом, докажем теорему Вариньона о моменте равнодействующей: если данная система сил имеет равнодействующую, то момент равнодействующей относительно любого центра O равен сумме моментов сил системы относительно того же центра.

Рисунок 6.3

Вопросы для самоконтроля

1. Сформулируйте теорему о параллельном переносе силы.

2. Что называется главным вектором системы сил?

3. Что называется главным моментом системы сил?

4. Как геометрически определяется главный вектор системы сил?

5. Определите главный вектор системы сил, которая изображена на рисунке, если F 1 = 10 H, F 2 = 50 H, F 3 = 30 H, OA = 4 м, ОВ = 0,6 м, ОС = 0,3 м.

6. Запишите формулы, с помощью которых аналитически определяется главный момент системы сил относительно выбранной точки.

7. Определите главный момент системы сил, которая задана в задаче 5, относительно начала координат.

8. Зависят ли главный вектор и главный момент заданной системы сил от выбора центра приведения.

9. При каком условии сила, равная главному вектору плоской системы сил, является равнодействующей этой системы сил?

1. Плоская система сходящихся сил

Система сходящихся сил находится в равновесии , когда алгебраические суммы проекций ее слагаемых на каждую из двух координатных осей равны нулю.

Проекция силы на ось.

Осью называют прямую линию, которой приписано определенное направление. Проекция вектора на ось является скалярной величиной.

Проекция вектора считается положительной (+), если направление от начала к ее концу совпадает с положительным направлением оси. Проекция вектора считается отрицательной (-), если направление от начала проекции к ее концу противоположно положительному направлению оси.

Если сила совпадает с положительным направлением оси, но угол будет тупой – тогда проекция силы на ось будет отрицательною.

Итак, проекция силы на ось координат равна произведению модуля силы на косинус или синус угла между вектором силы и положительным направлением оси.

Силу, расположенную на плоскости хОу, можно спроецировать на две координатные оси Ох и Оу:

; ; .

Проекция векторной суммы на ось.

Геометрическая сумма, или равнодействующая, этих сил

определяется замыкающей стороной силового многоугольника: ,

где п – число слагаемых векторов.

Итак, проекция векторной суммы или равнодействующей на какую-либо ось равна алгебраической сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось.

2. Пара сил

Сумма проекций пары сил на ось х и на ось у равна нулю, поэтому пара сил не имеет равнодействующей. Несмотря на это тело под действием пары сил находится в равновесии.

Способность пары сил производить вращение определяется моментом пары , равным произведению силы на кратчайшее расстояние между линиями действия сил. Обозначим момент пары М , а кратчайшее расстояние между силами а , тогда абсолютное значение момента:

Кратчайшее расстояние между линиями действия сил называется – плечом пары , поэтому можно сказать, что момент пары сил по абсолютному значению равен произведению одной из сил на ее плечо.

Момент пары сил можно показывать дугообразной стрелкой, указывающей направление вращения.

Две пары сил считаются эквивалентными в том случае, если после замены одной пары другой механическое состояние тела не изменяется, т.е. не изменяется движение тела или не нарушается его равновесие.

Эффект действия пары сил на твердое тело не зависит от ее положения в плоскости. Таким образом, пару сил можно переносить в плоскости ее действия в любое положение.

Еще одно свойство пары сил, которое является основой для сложения пар:

− не нарушая состояния тела, можно как угодно изменять модули сил и плечо пары, только бы момент пары оставался неизменным.

По определению пары сил эквивалентны, т.е. производят одинаковое действие, если их моменты равны.

Если, изменив значения сил и плечо новой пары, мы сохраним равенство их моментов М 1 = М 2 или F 1 a = F 2 b, то состояние тела от такой замены не нарушится.

Подобно силам пары можно складывать. Пара, заменяющая собой действие данных пар, называется результирующей. Действие пары сил полностью определяется ее моментом и направлением вращения. Исходя из этого, сложение пар производится алгебраическим суммированием их моментов, т.е. момент результирующей пары равен алгебраической сумме моментов составляющих пар.

Момент результирующей пары определится по формуле:

М= М 1 + М 2 +... + М п. =

М і ,

Где моменты пар, вращающие по часовой стрелке, принимаются положительными, а против часовой стрелки – отрицательными. На основании приведенного правила сложения пар устанавливается условие равновесия системы пар лежащих в одной плоскости, а именно: для равновесия системы пар необходимо и достаточно, чтобы момент результирующей пары равнялся нулю или чтобы алгебраическая сумма моментов пар равнялась нулю:

Момент силы относительно точки и оси.

Момент силы относительно точки определяется произведением модуля силы на длину перпендикуляра, опущенного из точки на линию действия силы.

При закреплении тела в точке О сила

стремится поворачивать его вокруг этой точки. Точка О, относительно которой берется момент, называется центром момента , а длина перпендикуляра а – плечом относительно центра момента .

Момент силы

относительно О определяется произведением силы на плечо: .

Момент принято считать положительным, если сила стремится вращать тело по часовой стрелке, а отрицательным - против часовой стрелки. Между моментом пары и моментом силы есть одно существенное различие. Численное значение и направление момента пары сил не зависит от положения этой пары в плоскости. Значение и направление (знак) момента силы зависит от положения точки, относительно которой определяется момент.

Если сила расположена в плоскости, перпендикулярной к оси, момент этой силы определяется произведением ее величины на плечо

относительно точки пересечения оси и плоскости:

Следовательно, для определения момента силы относительно оси нужно спроектировать силу на плоскость, перпендикулярную оси, и найти момент проекции силы относительно точки пересечения оси с этой плоскостью.

3. Метод кинетостатики

Представим себе материальную точку массой т, движущуюся с ускорением а под действием какой-то системы активных и реактивных сил, равнодействующая которых равна F.

Воспользуемся одной из известных нам формул (основным уравнением динамики) для того, чтобы уравнения движения записать в форме уравнений равновесия (метод кинетостатики):

Перепишем это уравнение в следующем виде:

Выражение обозначается К ин и называется силой инерции:

Сила инерции есть вектор, равный произведению массы точки на ее ускорение и направленный в сторону, противоположную ускорению.

Это равенство, являющееся математическим выражением принципа, который носит имя французского ученого Даламбера (1717-1783), можно рассматривать как уравнение равновесия материальной точки. Следует подчеркнуть, что полученное равенство, хотя и названо уравнением равновесия, в действительности является видоизмененным уравнением движения материальной точки.

Принцип Даламбера формулируется гак: активные и реактивные силы, действующие на материальную точку, вместе с силами инерции образуют систему взаимно уравновешенных сил, удовлетворяющую всем условиям равновесия.

Следует помнить, что сила инерции приложена к рассматриваемой материальной точке условно, но для связи, вызывающей ускорение, она в определенном смысле является реальной. Обладая свойством инерции, всякое тело стремится сохранять свою скорость по модулю и направлению неизменной, в результате чего оно будет действовать на связь, вызывающую ускорение, с силой, равной силе инерции. В качестве примера действия сил инерции можно привести случаи разрушения маховиков при достижении ими критической угловой скорости. Во всяком вращающемся теле действуют силы инерции, так как каждая частица этого тела имеет ускорение, а соседние частицы являются для нее связями. Отметим, что весом тела называется сила, с которой тело вследствие притяжения Земли действует на опору (или подвес), удерживающую его от свободного падения. Если тело и опора неподвижны, то вес тела равен его силе тяжести.

4. Момент силы относительно точки

Рассмотрим гайку, которую затягивают гаечным ключом определенной длины, прикладывая к концу ключа мускульное усилие. Если взять гаечный ключ в несколько раз длиннее, то прилагая то же усилие, гайку можно затянуть значительно сильнее. Из этого следует, что одна и та же сила может оказывать различное вращательное действие. Вращательное действие силы характеризуется моментом силы.

Понятие момента силы относительно точки ввел в механику итальянский ученый и художник эпохи Возрождения Леонардо да Винчи (1452-1519).

Моментом силы относительно точки называется произведение модуля силы на ее плечо:

М 0 (¥) = РИ.

Точка, относительно которой берется момент, называется центром момента. Плечом силы относительно точки называется кратчайшее расстояние от центра момента до линии действия силы.

Система двух равных по модулю, параллельных и направленных в противоположные стороны сил, действующих на абсолютно твердое тело. Действие пары сил на твердое тело сводится к некоторому вращательному эффекту, который характеризуется величиной - момент пары.

Он определяется:

Его модулем = F*d. d - расстояние между линиями действия сил пары, называется плечом пары.

Положением в пространстве плоскости действия пары.

Направлением поворота пары в этой плоскости.

Момент пары сил - вектор m(или M), модуль которого равен произведению модуля одной из сил пары, на ее плечо, и который направлен перпендикулярно плоскости действия пары в ту сторону, откуда пара видна стремящейся повернуть тело против хода часовой стрелки.

Две пары, лежащие в || плоскостях и имеющие одинаковый момент эквивалентны.

Все пары в пересекающихся плоскостях можно заменить одной парой с моментом, равным сумме моментов этих пар. Для абсолютно твердого тела пара - свободный вектор, определяемы только моментом. Момент перпендикулярен плоскости образуемой парой.

Пару можно заменить параллельной ей равной силе и парой с моментом, равным произведению этой силы на расстояние до новой точки приложения.

Теоремы о парах .

1) Две пары, лежащие в одной плоскости, можно заменить одной парой, лежащей в той же плоскости, с моментом, равным сумме моментов данных двух пар. .

2) Две пары, имеющие геометрически равные моменты, эквиваленты.

3) Не нарушая состояния твердого тела, пару сил можно переносить в плоскости ее действия. Т.е. момент пары сил является свободным вектором.

4) Система нескольких пар сил эквивалента одной паре, момент которой равен векторной сумме моментов данных пар. Т.е. система пар приводится к одной паре, момент которой равен сумме моментов всех пар. Условие равновесия пар сил: - геометрическая сумма их моментов равна 0. Пары сил, расположенные в одной плоскости, взаимно уравновеш-тся, если алгебраическая сумма их моментов åМ i =0.

Момент силы относительно точки - вектор, численно равный произведению модуля силы на плечо и направленный перпендикулярно плоскости, содержащей силу и точку, в такую сторону, чтобы смотря ему навстречу, видеть силу стремящейся повернуться против хода час.стрелки. Плечо "h"- кратчайшее расстояние от точки до линии действия силы. - момент силы равен векторному произведению вектора на вектор . Модуль векторного произведения: R×F×sina = F×h. Для плоской сист. сил обычно находят не вектор момента, а только его модуль: ± F×h, >0 - против час.стр.; x, F y , F z - проекции силы на оси координат и точка 0 - начало координат, то

= (yF z - zF y) + (zF x - xF z) + (xF y - yF x) , откуда проекции момента силы на оси коорд.: М 0 x () = yF z - zF y ; М 0 y () = zF x - xF z ; М 0 z () = xF y - yF x .

Главный вектор - векторная сумма всех сил, приложенных к телу. Главный момент относительно центра - векторная сумма моментов всех сил, приложенных к телу относительно того же центра.

Теорема (лемма) о параллельном переносе силы : сила приложенная в какой-либо точке тверд. тела, эквивалента такой же силе, приложенной в любой др. точке этого тела, и паре сил, момент которой равен моменту данной силы относительно новой точки приложения.